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数理統計学　（著 稲垣宣生）　演習問題１　解答

 この本の解答

数理統計学 (数学シリーズ)

数理統計学 (数学シリーズ)

 

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 1.1

うまいやり方は思いつかなかったが、(P3)を用いることを考えるとひたすら互いに素な集合に分解する。

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ちゃんと書くと大変なので、互いに素な集合の名前をこうする。(もとのAと紛らわしいので、図のAはA'にする。)

例) BC = {x | (B\cap C)\backslash A}

そうすると、

d(A, B) +d(B,C)= P\left((A'\cup AC) \cup (B'\cup BC)\right) + P\left((C'\cup AC) \cup (B'\cup AB)\right) \\=  \underline{P(A')} +P(AC) + P(B')+\underline{P(BC)} + \underline{P\(C')}+P(AC) +P(B')+\underline{P(AB)}

アンダーラインに注目して、

=d(A, C) +P(AC) + P(B') + +P(AC) +P(B') \geq d(A, C)

 

1.2

P(B|A)P(A) = P(B) = 1 - P(B^c)

\therefore P(B|A) = 1 / P(A)  - P(B^c) / P(A) \geq 1 -  P(B^c) / P(A) \\ (\because 1 \geq P(A)＞0 )

 

1.3

描き方は変だが下図を見るとイメージがわく。（誤解招くかも）

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(1)は、 P(A|B) + P(A^c|B^c) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} + \frac{P(A^c\cap B^c)}{P(B^c)}\\ = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} + \frac{1 - P(A\cup B)}{1- P(B)} \\ = 1

計算してきれいにすると

P(A\cap B) = P(A)P(B)

よって独立が条件。

 

(2) P(A|B) - P(A|B^c) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} - \frac{P(A\cap B^c)}{P(B^c)} = 0\\ \therefore P(A\cap B)(1 - P(B) )- P(B)\left(P(A) - P(A\cap B)\right) = 0\\ \therefore P(A\cap B) = P(A)P(B)

 

1.4

独立の証明なので

P(A^c \cap B^c) = P(A^c) P(B^c)

を示す。

P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B) + P(A\cap B) \\ = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) (\because 互いに独立なので) \\=\left(1 - P(A) \right)\left(1 - P(B)\right)  = P(A^c)P(B^c)

よって示された。

1.5

スペードとハートから一枚ずつと、その他から二枚の組なので、

\frac{{ }_1 C_{13}\times {}_1 C_{13}\times {}_{2}C_{26}}{ _{52}C_{4}} = \frac{13^2}{17 * 49}

 

1.6

ベイズを意識した条件付き確率なのかな？

A : U_1で黒

B : U_2で黒

 

P(A | B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}

P(A\cap B) = \frac{2}{10}\times\frac{6}{11}

P(B) = \frac{8}{10}\times\frac{5}{11} + \frac{2}{10}\times\frac{6}{11}

P(A | B) = \frac{12}{52} =\frac{3}{13}

 

1.7 

 

方法が思いつかいときは、とにかくやってみる。

1回目

  P(W) = \frac{w}{w+b}

2回目

  P(W) = \frac{b}{w+b}\times\frac{w}{w+b+d} + \frac{w}{w+b}\times\frac{w+d}{w+b+d} = \frac{w}{w+b}

・・・おなじになる？

 

こんな時は帰納法あるn-1で成り立つとする。cはこれまでに増えた白の数

1)ｎ回目に手に入れたwから選ぶ場合

P_{\alpha} = P_{n-1}\times\frac{d}{w+b+(n-1)d}

2)n回目に手に入れてないものから選ぶ場合(n回目にどっちを選んでもいい条件)

P_{\beta} = \frac{w+b}{w+b+(n-1)d}\times P_{n-1}

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\alpha は、① \betaは、②③④

計算すると

1)2)より P_{n} = P_{\alpha} + P_{\beta} = P_{n-1}

 よって、 P_{n} = P_{n-1} = \cdots = P_1 = \frac{w}{w+b}

思いついたみたいにわざとらしく書きましたが、全然わからなかったので、しらべました。この問題の難しいところは、

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この表の普通漸化式の立て方として、①②と③④で分けるところを、①と②③④

で建てるところ。

ただ、この問題を感覚的に解くならば、（答え見てからなのに恥ずかしいが）増えていく期待値は初めの個数の割合から変わってないことからわかる。そう考えると、上の分け方も納得いくのではないでしょうか。

 

1.8

(1)

P(R=0) = P(R=0|S=1) + P(R=0|S=0) = ( 1 -  \varepsilon)\times p +  \varepsilon \times (1- p)  = p+\varepsilon - 2\varepsilon p

上と同じやり方でもよいが、余事象なので、

P(R=1) = 1 - P(R=0) = 1 - p - \varepsilon + 2\varepsilon p

(2)

P(S=1|R=1)P(R=1) = P(R=1|S=1)P(S=1)

\therefore P(S=1|R=1) = P(R=1|S=1)\frac{P(S=1)}{P(R=1) } = \frac{(1-\varepsilon)(1-p) }{1 - p - \varepsilon + 2\varepsilon p}

 

(3)

計算すると。。

P(R=0) = 0.41, P(R=1)=0.59, P(S=1|R=1) = 0.966

すごい上がるとわかる！

参考

www.mathlion.jp