雑記

数理統計学　統計的推論の基礎　（著　黒木学）　解答してみた　第１章

数理統計学統計学入門数理統計学　黒木

久しぶりに数理統計学やってみた

久しぶりにやるときは新しいの買ってしまう、、

以下解答なく独学のため、間違いがあれば訂正してほしい気持ちで解答書いてみた

まず、見たときの解く方針の気持ちを書いて回答を書くスタイルでやる。

数理統計学: 統計的推論の基礎

数理統計学: 統計的推論の基礎

作者:学, 黒木
共立出版

問1.1
問1.2
問1.3
- この問題の気持ち
(1)解答
(2)解答
(3)解答

問1.1

この問題の気持ち

(1)は、単にやるしかない気がする。n=3の時は、最小と最大がそれぞれ第1,3標本四分位数になるから、感覚的にわかる、4も同様。5の時から微妙になる。

(2)は、5以下の場合、第1,3標本四分位数に必ず最大最小が入る。しかし、それ以上であると、入らなくなるため、第1標本四分位数より小さい、もしくは、第3標本四分位数より大きい値が非常に離れると、標本平均を引っ張るようになる。

(1)解答

標本平均をμとすると、 $x_i, 1\le i\le n$ で、小さい順に並べたとする。

n=3の時、第1,3標本四分位数は、それぞれ、i=1,3

$\mu=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}$

であるので、

$\muーx_{1}=\frac{(x_{2}-x{1})+(x_{3}-x{1})}{3}\geq 0$

$\muーx_{3}=\frac{(x_{1}-x{3})+(x_{2}-x{3})}{3}\leq 0$

となるため、成立。

n=4の時、第1,3標本四分位数は、それぞれ、i=1,2の間i=3,4の間となる

$\mu=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}$

であるので、

$\muー\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{x_{3}+x_{4}-x{1}-x{2}}{4}\geq 0$

$\muー\frac{x_{3}+x_{4}}{2}=\frac{(x_{1}-x{3})+(x_{2}-x{4})}{4}\leq 0$

となるため、成立。

n=5の時、第1,3標本四分位数は、それぞれ、i=1,2の間i=3,4の間となる

$\mu=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{4}}{5}$

であるので、

$\muー\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{2x_{3}+2x_{4}+2x_{5}-3x_{1}-3x_{2}}{5}\geq 0$

$\muー\frac{x_{4}+x_{5}}{2}=\frac{2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}-3x_{4}-3x_{4}}{5}\leq 0$

プラスの項と、マイナスの項の係数の数が等しいのでそれぞれに割り振ると、

成立することが分かる。

(2)解答

nと第1,3標本四分位数の関係は、

n=4k

第1標本四分位数 $\frac{x_{k}+x_{k+1}}{2}$ 　

第3標本四分位数 $\frac{x_{3k}+x_{3k+1}}{2}$

n=4k+1

第1標本四分位数 $\frac{x_{k}+x_{k+1}}{2}$

第1標本四分位数 $\frac{x_{3k+1}+x_{3k+1}}{2}$ 　

n=4k+2

第1標本四分位数 $x_{k+1}$ 　

第3標本四分位数 $x_{3k+2}$ 　

n=4k+3

第1標本四分位数 $x_{k+1}$ 　

第3標本四分位数 $x_{3k+3}$

$\mu=\frac{\sum_i x_i }{n}$

$\muー x_{k+1}=\frac{(x_{1}-x_{k+1})+\cdots +(x_{k+1}-x_{k+1})+\cdots +(x_{k+1}-x_{k+1})}{n}$

となるが、i=k+1前後で和を分けたとき、前後の和の大小関係が分からないため、成立しない。そのほかの場合、また、右の不等式も同様。

解答は、例なので、

-9990,0,1,2,3,4

この時、

第1標本四分位数：０　

第3標本四分位数：3

標本平均　　　： -10000/6

と明らかに小さい。

問1.2

この問題の気持ち

これは、けいさん

解答

上と同様のｘの取り方をすると、左辺両辺とも聖なため、

[tex: s^2 -(x_n-x_1)^2=\frac{1}{n}\sum_i *1]

よって、

$x_i-x_n \cap x_1-\bar{x}$

より、常に０以下であるため、照明終了

問1.3

この問題の気持ち

計算。(1)を使いまくる。

(2)では、(1)で切片が消えることが分かれば簡単。

(1)解答

標本平均は、足し算なのでくくれるため、

$\mu_z=a \mu_x+b$

標本分散は、

$s_z =\frac{1}{n}\sum_i (z_i-\bar{z})^2 = \frac{a^2}{n}\sum_i (x_i-\bar{x})^2=a^2 s_x$

(2)解答

$s_{zw}=\frac{1}{n}\sum_i a\alpha (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=abs_{xy}$

(3)解答

$r_{zw}=\frac{s_{zw}}{s_{zz}s_{ww}}=\frac{s_{xy}}{\sqrt{s_{xx}{s_{yy}}}=r_{xy}$

久しぶりのブログ更新。

標本平均をμとしたけど、やめたほうがいかったな。

*1:x_i-\bar{x})^2-(x_n-x_1)^2)]

[tex:\frac{1}{n}\sum_i ((x_i-\bar{x}+x_n-x_1)(x_i-\bar{x}-x_n+x_1