雑記

数理統計学　統計的推論の基礎　(黒木学)　第二章　解答してみた

数理統計学　黒木数理統計学統計学統計学入門

第二章の問題はほとんど集合の問題みたい。

以下解答なく独学のため、間違いがあれば訂正してほしい気持ちで解答書いてみた

まず、見たときの解く方針の気持ちを書いて回答を書くスタイルでやる。

数理統計学: 統計的推論の基礎

数理統計学: 統計的推論の基礎

作者:学, 黒木
共立出版

問2.1
問1.2
- この問題の気持ち
- 解答
問2.3
- この問題の気持ち
(1)解答
(2)解答

問2.1

この問題の気持ち

(1)は、式2.15がn=2の時と分かれば、難しくない。逆に、こういう問題の時は、小さいｎを考える。あと、自明そうなとき(今回の場合図を描くとわかる)は、背理法か帰納法を使うとときやすい。

(2)は、右辺のシグマの部分を考えると、（１）に近いことが分かる。また、式2.15とn=2の時近いことを考えながらとく。

(1)解答

n=2の時、式(2.15)

あるnの時成立するとする。

$pr(\cup_i^{n+1} A_i)=pr(\cup_i^(n) A_i \cup A_{n+1})$

$=pr(\cup_i^n A_i)+pr(A_{n+1})-pr(\cup_i^n A_i \cap A_{n+1} )$

$\leq \sum^n_{i=1}pr(A_i)+pr(A_{n+1})=\sum^{n+1}_{i=1}pr(A_i)$

(2)解答

n=2のとき

式(2.15)から

$pr(A_1\cap A_2)=pr(A_1)+pr(A_2)-pr(A_1\cup A_2)$

$pr(A_1\cap A_2)=pr(\Omega \backslash A_1^c)+pr(\Omega\backslash A_2^c)-pr(A_1\cup A_2)$

$=1-pr(A_1^c)-pr(A_2^c)+1-pr(A_1\cup A_2)\geq 1-pr(A_1^c)-pr(A_2^c)$

あるnの時、成立する

$pr(\cap_i^{n+1} A_i)=pr(\cap_i^(n) A_i \cap A_{n+1})$

$=pr(\cap_i^n A_i)+pr(A_{n+1})-pr(\cap_i^n A_i \cup A_{n+1} )$

$\geq 1-\sum^n_{i=1}pr(A_i^c)+1-pr(A_{n+1}^c)\geq 1-\sum^{n+1}_{i=1}pr(A_i^c)$

問1.2

この問題の気持ち

これは、条件付確率のけいさん

解答

どちらか片方の子供が男の確率をpr(A)

もう一方の子供が男の確率をpr(B)

$pr(B=男|A=男)=\frac{pr(A\cap B)}{pr(A)}=\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}$

問2.3

この問題の気持ち

なんだか複雑そうだけど、説明読んでいけば溶けは思想。

(1)解答

(<＝)

AとBが独立のとき、

$pr(A\cap B|\Omega) = pr(A|\Omega)pr(B|\Omega)$

この時、

$pr(A^c\cap B^c|\Omega) = 1-pr(A\cup B|\Omega)=1-pr(A|\Omega)-pr(B|\Omega)+pr(A\cap B|\Omega)$

$=1-pr(A|\Omega)-pr(B|\Omega)+pr(A|\Omega)p(B|\Omega)$

$pr(A^c \cap B|\Omega) = pr(B|\Omega) - pr(A \cap B|\Omega) = pr(B|\Omega) - pr(A|\Omega) pr(B|\Omega)$

$pr(A \cap B^c|\Omega) = pr(A|\Omega) - pr(A|\Omega) pr(B|\Omega)$

よってこれらを考えると、

$OD(A,B|\Omega)=1$

となる

(＝>)

条件のとこ省略！

$OD(A,B|\Omega)=1$ の時、

分母=

$pr(A\cap B)(1-p(A\cup B))=pr(A\cap B)(1-p(A)-p(B)-p(A\cap B))$

分子=

$(pr(A)-pr(A\cap B))(pr(B)-pr(A\cap B))=pr(A)pr(B)-pr(A)pr(A\cap B)-pr(B)pr(A\cap B)+pr(A\cap B)^2$

よって、

$0=pr(A\cap B)-pr(A\cap B)p(A)-pr(A\cap B)p(B)-p(A\cap B)^2 -pr(A)pr(B)-pr(A)pr(A\cap B)-pr(B)pr(A\cap B)+pr(A\cap B)^2$

$pr(A\cap B)-pr(A)pr(B)=0$

より成立。

(2)解答

わからなかったーー！

$A,B \in \Omega$

だとすると、

$Pr(A\cap B)=Pr(A,B|C)Pr(C)$

ってなって、ODの分母分子にそれぞれ、Pr(C)かければ、常に、

$OD(A,B|\Omega)=OD(A,B|C)=OD(A,B|C^c)$

が成り立つ気がする。。

わかんないな。

第２章にしてわからない問題が出てしまった。。