統計学　ベータ分布　積率母関数ベータ分布の積率母関数

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下の本の演習問題でベータ分布のモーメントを求めるときに、ふとモーメント母関数について気になったが、調べても出てこなかったので、導出してみた。

数理統計学 (数学シリーズ)

作者:宣生, 稲垣
発売日: 2003/02/25
メディア: 単行本

結論から言うと
計算していく
感想

結論から言うと

上の画像のとおりこうなります。

$Mx(t) = 1+ \sum^\infty_{k=1}\frac{t^k}{k!}\prod^{k-1}_{l=0}\frac{\alpha+l}{\alpha+\beta+l}$

計算していく

$Mx(t) = E[e^{tX}] = \int^1_0 \frac{e^{tx}}{Beta(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx$

このまま積分するのは正直しんどい。また、ネイピア数のテイラー展開を考えると、

$e^{xt} = \sum^\infty_{k=0} \frac{(tx)^k}{k!}$
となり　 $x^k$ 　があるのがわかる。

これは、ベータ分布と相性がよさそう。

$Mx(t) = E[e^{tX}]=\int^1_0 \frac{1}{Beta(\alpha,\beta)}\sum^\infty_{k=0} \frac{(tx)^k}{k!}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx$
$= \int^1_0 \frac{1}{Beta(\alpha,\beta)}\sum^\infty_{k=0} \frac{t^k}{k!}x^{\alpha+k-1}(1-x)^{\beta-1}dx \\= \sum^\infty_{k=0} \frac{t^k}{k!}\int^1_0 \frac{1}{Beta(\alpha,\beta)}x^{\alpha+k-1}(1-x)^{\beta-1}dx$
ある $k(\ne1)$ について考えると、

$\frac{t^k}{k!}\frac{Beta(\alpha+k,\beta)}{Beta(\alpha,\beta)} = \frac{t^k}{k!}\left.\frac{\Gamma(\alpha+k)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta+k)} \middle / \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} \right. \\= \frac{t^k}{k!}\frac{(\alpha+k-1)(\alpha+k-2)\cdots\alpha}{(\alpha+\beta+k-1)(\alpha+\beta+k-2)\cdots(\alpha+\beta)} = \frac{t^k}{k!}\prod^{k-1}_{l=0}\frac{\alpha+l}{\alpha+\beta+l}$

$k=1$ の時、1になる。