行列 第二章 線形代数入門 斎藤正彦

概要

今回は、初めてなので全体像をのっけた。

 §１　行列の定義と特徴

特に書くことはない！

上の行列の単語の定義が分かった

§2 正方行列特に正則行列

正則行列は後によく出てくるので定義

逆行列が存在する行列

2-[2-2]での対象区分けの証明も計算のみ。

§3　線形写像

概要

線形写像の基礎とその応用であり次の一次方程式につながる基本変形。

 

線形写像の定義

線形変換と、行列の線形変換は一対一対応する。こういった抽象的な物の証明が苦手なので当たり前なのだが証明を記しとく。

任意のべくとるは、単位ベクトルの線形結合として表せるので、(第4章での証明)

 行列での線形変換をとすると、

当たり前のことをやり過ぎているからなのか、わかったのかよく証明してもわからない。もやもやが残る証明であるが、感覚的にはいいので通り過ぎる。

この節は、第四章で同じことをやるので飛ばす。

§4　行列の基本変形、階級

この節では、普段何も考えずにやっていた基本変形をしっかりとやっていく感じ、正直使えればいいような気もするが、基本変形が正則行列との掛け算によって、成り立っていることをこのあとよく使っている気がする。

三つの基本変形(n次正方行列)

1. 行または、列の交換
   と表し、単位行列の入れ替えたい行または列(i , j)の、1とゼロを交換する。単位行列は、かけた時、抜き出すということをしてると考えられる。なので、ひだりから単位行列をかけた時は、列を抜き出す。右からなら行を抜き出すと考えられる。なので抜き出す行を入れ替えるには、単位行列の行または列を入れ替えれば結果も入れ替わるので
   
   これは、正則なのは、結構わかりやすく、行で考えるとi行とj行が入れ替わっているので、そのままの行列であるで入れ替えればいい。
   
   
2. ある行または列を、定数倍する
   上と同じように考えて、ある行または列を抜くときに定数倍すればいいので、
   と表し、定数倍したい i 番目の行または列の、1をc倍する。
   
   これも、正則。形が単位行列なので、とすればいいことがわかるだろう。
   
   
3. ある行または列に、定数倍の行または列を加える。
   ほとんど1, と似の組み合わせ、定数倍して加えたい行または列のところをc倍したのと、元のを抜き出して足せばよいので、
   と表し,
   とすればよい。
   これも正則である。少しわかりにくいが、この行列は、定数倍したのがある行または列に足されているので、ある行または列の定数倍、引いてあげれば、引いたことになるので,
   

これらはたいそうに書いたがほとんどいつもやっている操作である。重要なのは、正則行列との右または左からの積で基本変形ができるということである。

2-4-2-1 どんな行列も標準形になり、

2-4-2-2 その階級は一意である。

2-4-2-1

任意の(m,n)型行列Aは、基本変形を何回か施すことで標準系である。

まず、基本変形でになるようにして、掃き出すのを繰り返せばよい。

 2-4-2-2

こっちの証明は、はじめはあまりうまくいかなかったので細かく書く。

もし仮に、二通りに表せたとすると、正則行列による変形なので、

(s ≧ r)

となる。

F(r)の区分けをしてそれに合わせてP,Qも区分けして、かんがえ計算すると、

この行列の大きさを考えるとは、おおきさとしては、r×rである。また、s ≧ rより s個数1が続くので、であり、は、s -r≧0の個数1がまだ右上には続くはずである 。しかし、とを考えると、は標準形なので、であり、より、よってとなる。最後に、これよりとなる。つまり、s = rである。

2-4-3 n次正則行列なら、階級はn

正則行列の基本変形が単位行列となることをつかう。ほぼ自明。

2-4-4 Aが正則なら基本変形は、左か右だけの変形だけでいい。

PとAを入れ替えるか、QとAを入れ替えてもいい。全部正則。

逆行列の作り方

逆行列が存在するつまり正則のとき、がとなる。つまり同じ基本絵変形したら、が求まる。

ここからの一次方程式は、普通の一次方程式の考え方を行列にしても、本来は逆なのかもしれないが、慣れ親しんだものなので省略。証明も結構計算するだけ。 

第3章も面白くなかったので飛ばす。

つぎは第4章！！！

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