多変量解析入門　小西　解答

第2章

この本の解答を作っていく

多変量解析入門――線形から非線形へ

作者: 小西貞則
出版社/メーカー: 岩波書店
発売日: 2010/01/27
メディア: 単行本（ソフトカバー）
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問2.1

最小2乗法より

$\frac{\partial S(\beta_0, \beta1)}{\partial \bf{\beta}} = \frac{1}{2}\frac{\partial \sum \{y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i)\}^2}{\partial \bf{\beta}} = 0\\\frac{\partial\sum \{y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i)\}^2}{\partial\beta_0} = \sum(y_i -(\beta_0 + \beta_1x_i)) = \sum yi - n\beta_0 + \beta_1\sum x_i = 0\\\frac{\partial\sum \{y_i - (\beta_0 + \beta_1x_{i})\}^2}{\partial\beta_1} = \sum(y_i -(\beta_0 + \beta_1x_i))x_i = \sum x_i y_i - \beta_0 \sum x_i + \beta_1 \sum x_i^2=0\\$

下に式を移行して示された。

問2.2,3,4

本内に書いてあるので省略

問2.5

$\bf{c}^T\bf{\beta} = c_0\beta_0 + \cdots +c_p\beta_p\\ \frac{\partial \bf{c}^T\bf{\beta}}{\partial \bf{\beta}}=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial\bf{c}^T\bf{\beta}}{\partial\beta_0}\\ \frac{\partial\bf{c}^T\bf{\beta}}{\partial\beta_1}\\ \vdots \\ \frac{\partial\bf{c}^T\bf{\beta}}{\partial\beta_p}\end{array}\right) =\bf{c}$

$\vec{\beta}^TA = \left(\begin{array}{c}\beta_0a_{00} + \beta_1a_{10} + \cdots +\beta_i a_{i0}\cdots +\beta_pa_{p0}\\ \vdots\\ \beta_0a_{0i} + \beta_1a_{1i} + \cdots +\beta_i a_{ii}\cdots +\beta_pa_{pi}\\ \vdots\\ \beta_0a_{0p} + \beta_1a_{10} + \cdots +\beta_i a_{ip}\cdots +\beta_pa_{pp}\\ \end{array}\right) ^T\\$

$\vec{\beta}^TA\vec{\beta}= \begin{array}{c}\beta_0\beta_0a_{00} + \beta_0\beta_1a_{10} + \cdots +\beta_0\beta_i a_{i0}\cdots +\beta_pa_{p0}+\\ \vdots\\ \beta_i\beta_0a_{0i} + \beta_i\beta_1a_{1i} + \cdots +\beta_i\beta_i a_{ii}\cdots +\beta_i\beta_pa_{pi}+\\ \vdots\\ \beta_p\beta_0a_{00} + \beta_p\beta_1a_{10} + \cdots +\beta_p\beta_i a_{ip}\cdots +\beta_p\beta_pa_{pp}\\ \end{array}\\$

$\frac{\partial\vec{\beta}^TA\vec{\beta}} {\partial\beta_i} = \begin{array}{c}\qquad\quad \beta_0a_{i0}+\\ \qquad\quad\vdots\\ \beta_0a_{0i} + \beta_1a_{1i} + \cdots +\beta_i a_{ii}\cdots +\beta_pa_{pi}+\\ \qquad\quad\vdots\\ \qquad\quad+\beta_pa_{ip} \end{array}$