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　モーメント母関数面白いな　第５章　確率変数　統計学入門　東京大学教養学部統計学教室

統計学 統計学入門

 

これからずっと使う確率変数の入門！

 

5.1　確率変数と確率分布

始まりの定義は大切なような気がするので、

確率変数：各値に対して、それぞれ確率が与えられている変数。

離散確率の確率密度が何となくボヤっとしているが、流してしまう。。厳密には後で、まずオーバーラップを意識！！（言い訳のような気がする笑）

5.2　確率変数の期待値と分散

期待値: E[X] = \Sigma X_i f(X_i)

分散　: V(X) = \Sigma(X_i - \mu)^2f(X_i)

特段証明が難しかったり悩んだりしたところはなかった。

5.3　モーメントとモーメント母関数

今回の章でもっとも驚き、面白かったところ。

モーメント母関数を

M_x(t) = \Sigma e^{tx}f(x)

と定義すると、期待値、や尖度( \mu_4)、歪度( \mu_3)とすべての次数のモーメントが生成できる。つまり、グラフの外形を表現するものがすべて入っているといえる。

(モーメント: \mu_r = E(X^r))

なぜなら、マクロりん展開を用いると

e^x =  1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} \cdot \cdot

M_x(t) = \Sigma ( 1 + tx + \frac{(tx)^2}{2!} + \frac{(tx)^3}{3!} + \frac{(tx)^4}{4!} \cdot \cdot)f(x)

=  \Sigma f(x) + \Sigma {tx}f(x) +\Sigma \frac{(tx)^2}{2!}f(x) +  \Sigma \frac{{tx}^3}{3!}f(x) \cdot\cdot

= 1 + E(tx) +  \frac{E((tx)^2)}{2!}+  \frac{E((tx)^3)}{3!} \cdot\cdot

= 1 + \mu_1 +  \frac{\mu_2}{2!}+  \frac{\mu_3)}{3!} \cdot\cdot

となり、すべてのｒについての物であるのでグラフの外形を表しているといえるだろう

x \rightarrow x - \mu

とすれば、原点（平均）中心のグラフを表す。

また、すべてのモーメントはこのモーメント母関数を微分することで求められる。

M_x(t)’ =   \Sigma xf(x) +\Sigma \frac{2tx^2}{2!}f(x) +  \Sigma \frac{3t^2x^3}{3!}f(x) \cdot\cdot

  t \rightarrow 0

M_x(0)’ = \Sigma xf(x) = E(x)

M_x(t)’' =   \Sigma \frac{2x^2}{2!}f(x) +  \Sigma \frac{6tx^3}{3!}f(x) \cdot\cdot

  t \rightarrow 0

M_x(0)’' =  \Sigma \frac{2x^2}{2!}f(x) =\frac{2E(x^2)}{2!}

となる。一般には、

M_x(0)^(t) =  \Sigma x^t f(x) = E(x^t)

なるので、尖度や歪度、期待値などは、モーメント母関数から求まる。

E(x^2) が求まるので、分散も求めることが可能である。期待値などが積分で求めにくい時は、モーメント関数は、微分なので求めやすいのである。

 

5.4　確率変数の変換

あんまりおもしろくない

 

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