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等比数列の応用　\sum ra^r \sum r^2 a^r　の導出

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 この本の解答と解説を書いています。厳密さを追求しきれてはいないです。

 

数理統計学 (数学シリーズ)

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無限級数の和について

今回は、上の本の解答を作成している際によく出てきて、自分でもパットでなかったので導出してみた。
S(\theta) = \sum_{x = 1}^\infty x\theta^{x} \\T(\theta) = \sum_{x = 1}^\infty x^2\theta^{x}

 

 

この二つについて、求めたいと思う。

普通の解法

1乗の無限和

\begin{array}{rr} S(\theta) =\theta + 2\theta^2 + 3\theta^3 \cdots \\ \\-) \theta S(\theta) =\theta^2 + 2\theta^3 + 3\theta^4 \cdots \\ \hline S(\theta)(1-\theta) = \theta + \theta^2 + \theta^3 \cdots\\\end{array}

よって、
S(\theta) =\frac{1}{1-\theta}\sum^\infty_{x=1}\theta^x = \frac{\theta}{(1-\theta)^2}

2乗の無限和

\begin{array}{rr}T(\theta) =\theta + 2^2\theta^2 + 3^2\theta^3 \cdots \\-) \theta T(\theta) =\theta^2 + 2^2\theta^3 + 3^2\theta^4 \cdots \\\hline\end{array}
T(\theta)(1-\theta) = \theta + (2-1)(2+1)\theta^2 + (3-2)(3+2)\theta^3 \cdots\\

T(\theta)(1-\theta) = \theta + 3\theta^2 + 5\theta^3 \cdots
よって、

T(\theta) = \frac{1}{(1-\theta)}\sum^\infty_{k=1}(2k-1)\theta^k\\

=\frac{1}{(1-\theta)}\left(2\sum^\infty_{k=1} k\theta^k -\sum^\infty_{k=1}\theta^k\right) 

=\frac{1}{(1-\theta)}\left(2 S(\theta) - \frac{\theta}{1-\theta} \right)\\

=\frac{1}{(1-\theta)}\left(2 \frac{\theta}{(1-\theta)^2} - \frac{\theta}{1-\theta}\right)=\frac{\theta+\theta^2}{(1-\theta)^3}

 


微分を用いた解法

1乗の無限和

S(\theta) = \sum_{x = 1}^{\infty}x\theta^x=\theta\sum_{x = 1}^{\infty}x\theta^{(x-1)}=\theta(\sum_{x = 1}^{\infty}\frac{d \theta^{x}}{d\theta})

\\= \theta\left(d\sum_{x = 1}^{\infty}\theta^{x}\right) / \left(d \theta\right) = \theta \frac{d (\theta / 1-\theta)}{d\theta} = \frac{\theta}{(1-\theta)^2}

2乗の無限和

T(\theta) = \sum_{x = 1}^{\infty}x^2\theta^{x} \\= \sum_{x = 1}^{\infty}x(x-1)\theta^{x}+\sum_{x = 1}^{\infty}x\theta^{x}\\=\theta^2\sum_{x = 1}^{\infty}x(x-1)\theta^{x-2}+S(\theta)\\=\theta^2\sum_{x = 1}^{\infty}\frac{d^2\theta^{x}}{d\theta^2}+S(\theta)\\=\theta^2\frac{d}{d\theta}\frac{1}{\theta}\left(\theta\frac{d}{d\theta}\sum_{x =1}^{\infty}\theta^{x}\right)+S(\theta)\\=\theta^2\frac{dS(\theta)/\theta}{d\theta}+S(\theta)\\=\frac{2\theta^2}{(1-\theta)^3} + \frac{\theta}{(1-\theta)^2}\\=\frac{\theta+\theta^2}{(1-\theta)^3}

 

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