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多変量解析入門　解答 第10章

多変量解析入門 データサイエンス

第10章 

この本の解答がなかったので作っていく、

多変量解析入門――線形から非線形へ

多変量解析入門――線形から非線形へ

 

 

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問10.1

書くのが大変なので、書き方のみ、

最長距離法は、最短距離法とは逆に長い方から決めていく。

群平均の時は、その長さがクラースたを作るときにながさが、そのクラスタに入っている個体数によって変わっていく。

問10.2

(1)

感覚的には、全体の中心から考えて、その重心から行っても、各クラスタの重心を通ってから個別のデータに行ってもベクトル的に変わらないよねっていう感じ。

\boldsymbol{ x_c } = \frac{ \boldsymbol{ n_1\boldsymbol{ \bar{x}_1 } +n_2\boldsymbol{ \bar{x}_2 } } }{ n_1 + n_2 }\\ \sum_{j \in (1, 2)}\left\{ \sum_{i}\left( |\boldsymbol{ x_{ij}} - \boldsymbol{ x_c }|^2 - | \boldsymbol{ x_{ij} } - \boldsymbol{ \bar{x}_j }|^2\right ) \right\} = \\ \sum_{j \in (1, 2)}\left\{ \sum_{i}\left( \boldsymbol{ x_{ij}}^T\boldsymbol{ x_{ij}} - \boldsymbol{ x_{ij}}^T\boldsymbol{ x_c } - \boldsymbol{ x_c }^T\boldsymbol{ x_{ij}} + \boldsymbol{ x_c }^T\boldsymbol{ x_c } -  \boldsymbol{ x_{ij}}^T\boldsymbol{ x_{ij}} + \boldsymbol{ x_{ij}}^T\boldsymbol{ \bar{x}_j } + \boldsymbol{ \bar{x}_j }^T\boldsymbol{ x_{ij}} - \boldsymbol{ \bar{x}_j }^T\boldsymbol{\bar{x}_j } \right ) \right\} = \\ \sum_{j \in (1, 2)}\left\{ \sum_{i}\left( - \boldsymbol{ x_{ij}}^T\boldsymbol{ x_c } - \boldsymbol{ x_c }^T\boldsymbol{ x_{ij}} + \boldsymbol{ x_c }^T\boldsymbol{ x_c }  + \boldsymbol{ x_{ij}}^T\boldsymbol{ \bar{x}_j } + \boldsymbol{ \bar{x}_j }^T\boldsymbol{ x_{ij}} - \boldsymbol{ \bar{x}_j }^T\boldsymbol{\bar{x}_j } \right ) \right\} = \\ \sum_{j \in (1, 2)}\left\{ - n_j\boldsymbol{ \bar{x}_j }^T\boldsymbol{ x_c } - n_j\boldsymbol{ x_c }^T\boldsymbol{ \bar{x}_j } + n_j\boldsymbol{ x_c }^T\boldsymbol{ x_c }  + n_j\boldsymbol{ \bar{x}_j }^T\boldsymbol{ \bar{x}_j } + n_j\boldsymbol{ \bar{x}_j }^T\boldsymbol{ \bar{x}_j } - n_j\boldsymbol{ \bar{x}_j }^T\boldsymbol{\bar{x}_j } \right\} = \\ \sum_{j \in (1, 2)}\left\{ - n_j\boldsymbol{ \bar{x}_j }^T\boldsymbol{ x_c } - n_j\boldsymbol{ x_c }^T\boldsymbol{ \bar{x}_j } + n_j\boldsymbol{ x_c }^T\boldsymbol{ x_c }  + n_j\boldsymbol{ \bar{x}_j }^T\boldsymbol{ \bar{x}_j } \right\} = \\ \sum_{j \in (1, 2)}n_j\left| \boldsymbol{ \bar{x}_j } - \boldsymbol{ x_c } \right|^2

(2)重心と相対に分けるというのは、高校でもやる物理の二体問題でよくある手。そんな感じの問題。

\sum_{j \in (1, 2)}n_1\left| \boldsymbol{ \bar{x}_j } - \boldsymbol{ x_c } \right|^2 = \\ n_1\left( \boldsymbol{ \bar{x}_1}^T\boldsymbol{ \bar{x}_1} - \boldsymbol{ \bar{x}_1}^T\frac{ \boldsymbol{ n_1\boldsymbol{ \bar{x}_1 } + n_2\boldsymbol{ \bar{x}_2 } } }{ n_1 + n_2 } - \frac{ \boldsymbol{ n_1\boldsymbol{ \bar{x}_1 }^T + n_2\boldsymbol{ \bar{x}_2 }^T } }{ n_1 + n_2 } \boldsymbol{ \bar{x}_1 + \frac{ \boldsymbol{ n_1\boldsymbol{ \bar{x}_1 }^T + n_2\boldsymbol{ \bar{x}_2 }^T } }{ n_1 + n_2 } \cdot\frac{ \boldsymbol{ n_1\boldsymbol{ \bar{x}_1 } + n_2\boldsymbol{ \bar{x}_2 } } }{ n_1 + n_2 } } \right) + \\n_2\left( \boldsymbol{ \bar{x}_2}^T\boldsymbol{ \bar{x}_2} - \boldsymbol{ \bar{x}_2}^T\frac{ \boldsymbol{ n_1\boldsymbol{ \bar{x}_1 } + n_2\boldsymbol{ \bar{x}_2 } } }{ n_1 + n_2 } - \frac{ \boldsymbol{ n_1\boldsymbol{ \bar{x}_1 }^T + n_2\boldsymbol{ \bar{x}_2 }^T } }{ n_1 + n_2 } \boldsymbol{ \bar{x}_2 + \frac{ \boldsymbol{ n_1\boldsymbol{ \bar{x}_1 }^T + n_2\boldsymbol{ \bar{x}_2 }^T } }{ n_1 + n_2 }\cdot \frac{ \boldsymbol{ n_1\boldsymbol{ \bar{x}_1 } + n_2\boldsymbol{ \bar{x}_2 } } }{ n_1 + n_2 } } \right)\\

 

書くのにつかれた。あとは計算。

今回の問題は、絵にかくとすごくわかりやすく見えてくる。

問10.3

似たようなもん

問10.4

（１）期待値の中の和が期待値になるので

（２）まず期待値の中のを展開すると見える。

問10.5

上の考え方をつかう。